Question

已知各項都為整數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₅=35，且a₂，a₃+1，a₆成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

an

3n

的前n項和為T_n，求證T_n＜

5

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式可得T_n，即可證明．

解答： （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂，a₃+1，a₆成等比數(shù)列，∴(a3+1)2=a2•a6，
∵S₅=35，∴

5(a1+a5)

2

=5a₃=35，解得a₃=7．
∴

a1+2d=7 a2•a6=(a1+d)(a1+5d)=(7+1)2

，又d為整數(shù)，
解得

a1=1 d=3

，
∴a₁=1+3（n-1）=3n-2．
（2）證明：b_n=

an

3n

=

3n-2

3n

，
∴T_n=

1

3

+

4

32

+

7

33

+…+

3n-5

3n-1

+

3n-2

3n

，
3T_n=1+

4

3

+

7

32

+…+

3n-2

3n-1

，
∴2T_n=1+

3

3

+

3

32

+…+

3

3n-1

-

3n-2

3n

=3×

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-2-

3n-2

3n

=

5

2

-

6n+5

2•3n

，
∴T_n=

5

4

-

6n+5

4×3n

．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．