在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C=1(a>b>0)的離心率e,且橢圓C上的點到Q(0,2)的距離的最大值為3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)在橢圓C上,是否存在點M(mn),使得直線lmxny=1與圓Ox2y2=1相交于不同的兩點A,B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及相對應的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.


 (1)因為e,

所以a2=3b2,即橢圓C的方程可寫為=1.            (2分)

P(x,y)為橢圓C上任意給定的一點,

d (-byb).                         (3分)

當-b≤-1,即b≥1,dmax=3得b=1;

當-b>-1,即b<1,dmax=3得b=1(舍).

b=1,a,                                                (5分)

故所求橢圓C的方程為y2=1.                             (6分)

(2)存在點M滿足要求,使△OAB的面積最大.                  (7分)

假設存在滿足條件的點M,因為直線lmxny=1與

Ox2y2=1相交于不同的兩點A,B

則圓心Ol的距離d<1.                            (8分)

因為點M(m,n)在橢圓C上,所以n2=1<m2n2,

于是0<m2≤3.

因為|AB|=2=2 ,                         (10分)

所以SOAB·|ABd

,

當且僅當1=m2時等號成立,所以m2∈(0,3].

因此當m=±,n=±時等號成立.                     (12分)

所以滿足要求的點M的坐標為

此時對應的三角形的面積均達到最大值.                 

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:


已知點P是拋物線y2=4x上的動點,點Py軸上的射影是M,點A的坐標是(4,a),則當|a|>4時,|PA|+|PM|的最小值是________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:


有一動圓P恒過定點F(1,0),且與y軸相交于點A,B,若△ABP為等邊三角形,則圓心P的軌跡方程是(  ).

A. =1  B. =1

C. =1  D. =1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:


已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線lxy-2=0的距離為.設P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.

(1)求拋物線C的方程;

(2)當點P(x0y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:


平面直角坐標系xOy中,過橢圓M=1(a>b>0)右焦點的直線xy=0交MA,B兩點,PAB的中點,且OP的斜率為.

(1)求M的方程;

(2)C,DM上的兩點,若四邊形ACBD的對角線CDAB,求四邊形ABCD面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:


已知雙曲線x2=1的左頂點為A1,右焦點為F2,P為雙曲線右支上一點,則的最小值為(  ).

A.-2  B.-  C.1  D.0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:


AB是過橢圓=1(ab>0)中心的一條弦,M是橢圓上任意一點,且AM、BM與兩坐標軸均不平行,kAM,kBM分別表示直線AMBM的斜率,則kAM·kBM=(  ).

A.-  B.-  C.-  D.-

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:


從正方形四個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為       

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:


函數(shù)f(x)由下表定義:

x

2

5

3

1

4

f(x)

1

2

3

4

5

a0=5,an+1f(an),n=0,1,2,…,則a2 012=________.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案