【題目】有一個底面半徑為3，軸截面為正三角形的圓錐紙盒，在該紙盒內放一個棱長均為a的四面體，并且四面體在紙盒內可以任意轉動，則a的最大值為________.

【答案】

【解析】

先求圓錐內切球半徑，再根據(jù)a取最大值時，四面體外接球恰為圓錐內切球，解得結果.

依題意，四面體可以在圓錐內任意轉動，故該四面體內接于圓錐的內切球，設圓心為P，球的半徑為r，軸截面上球與圓錐母線的切點為Q，圓錐的軸截面如圖所示：

則，由于為等邊三角形，因此P為的中心，

連接BP，則BP平分，

因為a取最大值時，四面體外接球恰為圓錐內切球，

由于四面體可以從正方形中截得，如圖，當正四面體的棱長為a時，截的它的正方體的棱長為，而正四面體的四個頂點都在正方體上，故正方體的外接球就是正方形的外接球，所以

故答案為：

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底，為常數(shù)，）有兩個極值點，且.

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

(1)當時,求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;

(2)在區(qū)間內至少存在一個實數(shù),使得成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： （a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知在數(shù)列{an}中，設a1為首項，其前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)m，n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，且2S6＜S3．

（1）設數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為d，求的取值范圍；

（2）設數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比為q（q＞0且q≠1），求a1q的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某省確定從2021年開始，高考采用“”的模式，取消文理分科，即“3”包括語文、數(shù)學、英語，為必考科目：“1”表示從物理、歷史中任選一門；“2”則是從生物、化學、地理、政治中選擇兩門，共計六門考試科目.某高中從高一年級2000名學生（其中女生900人）中，采用分層抽樣的方法抽取名學生進行調查.

（1）已知抽取的名學生中含男生110人，求的值及抽取到的女生人數(shù)；

（2）學校計劃在高二上學期開設選修中的“物理”和“歷史”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學生講行問卷調查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目）.下表是根據(jù)調查結果得到的列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；

性別

選擇物理

選擇歷史

總計

男生

50

女生

30

總計

（3）在（2）的條件下，從抽取的選擇“物理”的學生中按分層抽樣抽取6人，再從這6名學生中抽取2人，對“物理”的選課意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.

參考公式：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設拋物線的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于M.N點.

（1）若，的面積為，求拋物線方程；

（2）若A.M.F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到直線n、m距離的比值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，是邊長為的正方形．且，點是的中點．

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

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