Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于M.N點(diǎn).

（1）若，的面積為，求拋物線方程；

（2）若A.M.F三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到直線n、m距離的比值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由拋物線的定義，以及圓的對(duì)稱(chēng)性可得為等邊三角形，可由其高線求得邊長(zhǎng)，進(jìn)而表達(dá)出面積，列方程解得即可求得拋物線方程.

（2）由A.M.F三點(diǎn)共線，可得直線斜率，和直線方程；根據(jù)直線n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，，可求得方程；據(jù)此利用點(diǎn)到直線距離公式求得距離之比.

（1）由對(duì)稱(chēng)性以及可知

是等邊三角形.

又F點(diǎn)到MN的距離為，故，

由拋物線定義知：點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離

又.

故拋物線方程為：.

（2）由對(duì)稱(chēng)性設(shè)，則

點(diǎn)A，M關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱(chēng)，得，

得：，直線m斜率，

所以直線m方程為.

∵，設(shè)直線n方程為：，

又因?yàn)橹本�n與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以，消去得，

由，得

直線，

坐標(biāo)原點(diǎn)到n，m距離的比值為.