Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為-1，公差d≠0的等差數(shù)列，且它的第2、3、6項(xiàng)依次構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若C_n=a_n•b_n，求數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)已知條件利用等差數(shù)列\(zhòng)等比數(shù)列的性質(zhì)求出公差d，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）和題設(shè)條件能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為-1，公差d≠0的等差數(shù)列，
且它的第2、3、6項(xiàng)依次構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)，
∴a32=a2•a6，即（-1+2d）²=（-1+d）（-1+5d），
解得d=0（舍）或d=2，
∴a_n=2n-3．
（2）由題意知b₁=a₂=1，b₂=a₃=3，
∴q=

b2

b1

=3，
∴bn=3n-1，
∴c_n=a_n•b_n=（2n-3）•3^n-1，
∴S_n=（-1）•3⁰+1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1，①
3S_n=（-1）•3+1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ，②
①-②，得：
-2S_n=-1+2×3+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n-3）•3ⁿ
=-1+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n-3）•3ⁿ
=-4+（-2n+4）•3ⁿ，
∴Sn=(n-2)•3n+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，要熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．