Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+b）-x²+4x，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為y=2x-3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的極小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：常規(guī)題型,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)切線的斜率等于函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，及切點(diǎn)在曲線上和直線上，很容易求出a，b，所以求出原函數(shù)．對(duì)于第二問討論f（x）的單調(diào)性，很容易想到用導(dǎo)數(shù)判斷．對(duì)于求f（x）的極小值，根據(jù)極小值的定義求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax+b）+ae^x-2x+4由條件可得：f（0）=b，b+a+4=2，f（0）=-3，所以解得a=1，b=-3，所以f（x）=e^x（x-3）-x²+4x．
（Ⅱ）令f′（x）=e^x（x-3）+e^x-2x+4=（x-2）（e^x-2）=0得：x=2，或x=ln2，所以將R分成區(qū)間（-∞，ln2），[ln2，2）和[2，+∞）所以
（1）x∈（-∞，ln2）時(shí)：0＜ln2＜1，所以x-2＜0；e^x＜e^ln2=2，所以e^x-2＜0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，ln2]上單調(diào)遞增；
（2）x∈（ln2，2）時(shí)：x-2＜0，e^x-2＞0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（ln2，2）上單調(diào)遞減；
（3）x∈（2，+∞）時(shí)：x-2＞0，e^x＞e²＞4，所以e^x-2＞0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減．
由（2）（3）知x=2時(shí)，原函數(shù)取到極小值，極小值為：4-e²．

點(diǎn)評(píng)：本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)有：1．函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率．
2．切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上．
3．通過求導(dǎo)數(shù)來尋找單調(diào)區(qū)間的方法．
4．極值的概念．