Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+1

．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜

7

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，由此能求出an=

1

n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

n

=

1

n2

，n∈N^*，所以

a1

1

+

a2

2

+…+

an

n

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

，由此能證明

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜

7

4

．

解答： 解：（1）∵an+1=

an

an+1

，a₁=1，
∴a_n≠0，∴

1

an+1

=

1

an

+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，
∴{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×1=1+n-1=n，
∴an=

1

n

．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

an

n

=

1

n2

，n∈N^*，

a1

1

+

a2

2

+…+

an

n

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+

1

4

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．
∴

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法的合理運(yùn)用．