Question

設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點坐標為（

3

，0），離心率e=

3

，A、B是雙曲線上的兩點，AB的中點M（1，2）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線AB方程；
（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

c= 3 e= c a = 3

，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點差法能求出直線AB的方程．
（3）假設(shè)A、B、C、D四點共圓，且圓心為P．只需證CD的中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可得到A、B、C、D四點共圓．

解答： 解：（1）依題意得

c= 3 e= c a = 3

，解得a=1．（1分）
所以b²=c²-a²=3-1=2，（2分）
故雙曲線C的方程為x2-

y2

2

=1．（3分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有

x 2 1 - y 2 1 2 =1 x 2 2 - y 2 2 2 =1

．
兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)=

1

2

(y1-y2)(y1+y2)，（4分）
由題意得x₁≠x₂，x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，（5分）
所以

y1-y2

x1-x2

=

2(x1+x2)

y1+y2

=1，即k_AB=1．（6分）
故直線AB的方程為y=x+1．（7分）
（3）假設(shè)A、B、C、D四點共圓，且圓心為P．
∵AB為圓P的弦，所以圓心P在AB垂直平分線CD上，
又CD為圓P的弦且垂直平分AB，
圓心P為CD中點M．（8分）
下面只需證CD的中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可．
由

y=x+1 x2- y2 2 =1

，得：A（-1，0），B（3，4）．（9分）
由（1）得直線CD方程：y=-x+3，（10分）
由

y=-x+3 x2- y2 2 =1

，得：C（-3+2

5

，6-2

5

），D（-3-2

5

，6+2

5

），（11分）
∴CD的中點M（-3，6）．（12分）
∵|MA|=

4+36

=2

10

，|MB|=

36+4

=2

10

，
|MC|=

20+20

=2

10

，|MD|=

20+20

=2

10

，（13分）
∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|，
即 A、B、C、D四點在以點M（-3，6）為圓心，2

10

為半徑的圓上．（14分）

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查直線方程的求法，考查四點共圓的判斷與證明，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．