Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x²+bx|（b∈R），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的最大值為M（b），則M（b）的最小值是（　�。�

• A． 3-2$\sqrt{2}$
• B． 4-2$\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 5-2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 通過討論b的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出M（b），從而求出M（b）的最小值即可．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=|x²+bx|=|${（x+\frac{2}）}^{2}$-$\frac{^{2}}{4}$|，
對(duì)稱軸x=-$\frac{2}$，當(dāng)-$\frac{2}$≤0，即b≥0時(shí)，f（x）在[0，1]遞增，
故M（b）=f（1）=b+1，
0＜-$\frac{2}$＜$\frac{1}{2}$即-1＜b＜0時(shí)，f（x）的最大值是f（-$\frac{2}$）或f（1），
令f（-$\frac{2}$）=$\frac{^{2}}{4}$＞f（1）=b+1，解得：-1＜b＜2（1-$\sqrt{2}$），
故-1＜b＜2（1-$\sqrt{2}$）時(shí)，M（b）=$\frac{^{2}}{4}$，
2（1-$\sqrt{2}$）＜b＜0時(shí)，M（b）=b+1，
$\frac{1}{2}$≤-$\frac{2}$即≤-1時(shí)，M（b）=$\frac{^{2}}{4}$，
故M（b）=$\left\{\begin{array}{l}{b+1，b≥2（1-\sqrt{2}）}\\{\frac{^{2}}{4}，b＜2（1-\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，
故b=2（1-$\sqrt{2}$）時(shí)，M（b）最小，最小值是3-2$\sqrt{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想；屬于中檔題．