Question

等比數(shù)列{a_n}中，a₁＞0．前n項和S_n＞0，則公比q的取值范圍是（　�。�

• A、（-1，0）∪（0，+∞）
• B、（-∞，0）∪（0，+∞）
• C、（-1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪[1，+∞）}

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意，只需

1-qn

1-q

＞0恒成立，下面分類討論：（1）當q＞1時，顯然成立；（2）當q=1時，a₁＞0，S_n＞0一定成立；（3）當q＜1時，需1-qⁿ＞0恒成立，再分當0＜q＜1時，當-1＜q＜0時，當q＜-1時，當q=-1時，綜合可得答案．

解答： 解：∵S_n＞0，∴a₁＞0，
∴

1-qn

1-q

＞0恒成立，
（1）當q＞1時，1-qⁿ＜0恒成立，即qⁿ＞1恒成立，
又q＞1，顯然成立，
（2）當q=1時，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立．
（3）當q＜1時，需1-qⁿ＞0恒成立，
當0＜q＜1時，1-qⁿ＞0恒成立，
當-1＜q＜0時，1-qⁿ＞0也恒成立，
當q＜-1時，當n為偶數(shù)時，1-qⁿ＞0不成立，
當q=-1時，顯然1-qⁿ＞0也不可能恒成立，
所以q的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）．
故選：A．

點評：本題考查數(shù)列{a_n}的公比的取值范圍的求法，注意分類討論思想的合理運用，屬中檔題．