Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x₁，x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數(shù)f（x）是R上的凹函數(shù)．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R，a＞0）．
（1）求證：函數(shù)f（x）是凹函數(shù)．
（2）求f（x）在[-1，1]上的最小值g（a），并求出g（a）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用作差法，化簡整理，再由新定義，即可得證；
（2）求出對(duì)稱軸，討論與區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到最小值g（a），再由分段函數(shù)的值域可得．

解答： （1）證明：∵f（

x1+x2

2

）=a（

x1+x2

2

）²+

x1+x2

2

，

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

（ax₁²+x₁+ax₂²+x₂），
∴f(

x1+x2

2

)-

1

2

(f(x1)+f(x2))=a(

x1+x2

2

)2+

x1+x2

2

-

1

2

(a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2)
=-a(

x1+x2

2

)2，
∵a＞0，∴-a(

x1+x2

2

)2≤0，
即f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂））
∴函數(shù)f（x）是凹函數(shù)．
（2）對(duì)于函數(shù)y=ax2+x，其對(duì)稱軸是x=-

1

2a

＜0
①當(dāng)-

1

2a

≤-1，即0＜a≤

1

2

，此時(shí)f（x）_min=f（-1）=a-1
②當(dāng)-1＜-

1

2a

＜0，即a＞

1

2

，此時(shí)f(x)min=f(-

1

2a

)=-

1

4a

綜上：g(a)=

a-1，0＜a≤ 1 2 - 1 4a ，a＞ 1 2

，
由分段函數(shù)的圖象可知，
g（a）的值域?yàn)椋?1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義理解和運(yùn)用，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，注意對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．