Question

數(shù)列{x_n}滿足x₁=0，x_n+1=-x²_n+x_n+c（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：{x_n}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范圍，使{x_n}是遞增數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過證明必要條件與充分條件，推出{x_n}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通過①當(dāng)c=0時(shí)，②當(dāng)c＞0時(shí)，推出0＜c＜1，當(dāng)c時(shí)，證明x_n+1＞x_n．=?．當(dāng)c時(shí)，說明數(shù)列{x_n}是從遞減數(shù)列矛盾．得到0＜c時(shí)，數(shù)列{x_n}是遞增數(shù)列．
解答：當(dāng)c＜0時(shí)，x_n+1=-x²_n+x_n+c＜x_n，
∴{x_n}是單調(diào)遞減數(shù)列
充分條件
當(dāng){x_n}是單調(diào)遞減數(shù)列時(shí)
x₁=0＞x₂=-x²₁+x₁+c
∴c＜0
綜上{x_n}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0
①當(dāng)c=0時(shí)，x_n=x₁=0，此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，不符合題意；
②當(dāng)c＞0時(shí)，x₂=c＞x₁=0，x₃=-c²+2c＞x₂=c
∴0＜c＜1
?
?0=x₁≤x_n＜，=-（x_n+1-x_n）（x_n+1+x_n-1），
當(dāng)c時(shí)，⇒x_n-x_n+1+1＞0?x_n+2-x_n+1-1＜0，?x_n+2-x_n+1與x_n+1-x_n同號，
由x₂-x₁=c＞0⇒x_n+1-x_n＞0?x_n+1＞x_n．
=?．
當(dāng)c時(shí)，存在N使x_N⇒x_N+x_N+1＞1⇒x_N+2-x_N+1與x_N+1-x_N異號，
與數(shù)列{x_n}是從遞減數(shù)列矛盾．
所以當(dāng)0＜c時(shí)，數(shù)列{x_n}是遞增數(shù)列．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的證明，充要條件的證明，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．