Question

已知a＞0，f（x）=ax²+bx+c，對(duì)任意x∈R有f（x+2）=f（2-x），若f（1-2x²）＜f（1+2x-x²），求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：先由題中條件：“f（2+x）=f（2-x），”得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性，再利用單調(diào)性去掉符號(hào)“f“，解決即可．

解答： 解：∵對(duì)一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），
∴二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的對(duì)稱軸是：x=2，
又a＞0，
∴f（x）在（-∞，2]上遞減，在[2，+∞）遞增，
∵1-2x²≤1，1+2x-x²=-（x-1）²+2≤2，
∴f（1-2x²）＜f（1+2x-x²）?1-2x²＞1+2x-x²?x（x+2）＜0?-2＜x＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次不等式的解法、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．