Question

設(shè)點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點，過點P的直線與兩漸近線分別交于P₁，P₂，設(shè)λ=

P1P

PP2

，求證：S△OP1P2=

(1+λ)2

4|λ|

ab．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則y₁=

b

a

x₁，y₂=-

b

a

x₂，依題意，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

b a x1+λ(- b a x2)

1+λ

=

b

a

•

x1-λx2

1+λ

，將點P（x，y）代入雙曲線方程，可得x₁x₂=

a2(1+λ)2

4λ

，|OP₁|•|OP₂|=

c2(1+λ)2

4|λ|

，設(shè)直線OP₁與OP₂所成的夾角為2θ，由tanθ=

b

a

，進一步可得sin2θ=

2ab

(a2-b2)2+(2ab)2

=

2ab

c2

，從而可證得結(jié)論成立．

解答： 證明：設(shè)P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
則y₁=

b

a

x₁，y₂=-

b

a

x₂，∵λ=

P1P

PP2

，
∴x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

b a x1+λ(- b a x2)

1+λ

=

b

a

•

x1-λx2

1+λ

，
由點P（x，y）在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，
∴

(x1+λx2)2

a2(1+λ)2

-

(x1-λx2)2

a2(1+λ)2

=1，
化簡得：x₁x₂=

a2(1+λ)2

4λ

，
又|OP₁|=

x12+ b2 a2 x12

=

c

a

|x₁|，同理可得|OP₂|=

c

a

|x₂|，
∴|OP₁|•|OP₂|=

c

a

|x₁|•

c

a

|x₁|=

c2

a2

•

a2(1+λ)2

4|λ|

=

c2(1+λ)2

4|λ|

．
設(shè)直線OP₁與OP₂所成的夾角為2θ，∵tanθ=

b

a

，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

2× b a

1- b2 a2

=

2ab

a2-b2

，
∴sin2θ=

2ab

(a2-b2)2+(2ab)2

=

2ab

c2

，
∴S△OP1P2=

1

2

•|OP₁|•|OP₂|sin2θ=

1

2

•

a2(1+λ)2

4|λ|

•

2ab

c2

=

(1+λ)2

4|λ|

ab．

點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求得|OP₁|•|OP₂|=

c2(1+λ)2

4|λ|

與sin2θ=

2ab

(a2-b2)2+(2ab)2

=

2ab

c2

是難點，也是關(guān)鍵，屬于難題．