Question

解下列不等式：
（1）log₇3x＜log₇（4-x）；
（2）log_a（2a-1）＞1（其中a＞0，且a≠1）．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由于不等式兩邊的底數(shù)相等且大于1，根據(jù)對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的定義域，進(jìn)而將不等式log₇3x＜log₇（4-x）轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x的不等式組，解不等式組即可得到答案．
當(dāng)a＞1時，當(dāng)0＜a＜1時，原不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，分別解不等式組可得．

解答： 解：（1）∵7＞1
∴y=log₇x為增函數(shù)
又∵log₇3x＜log₇（4-x）
∴

3x＞0 4-x＞0 3x＜4-x

（4分）
解得：0＜x＜1．（8分）
故log₇3x＜log₇（4-x）的解集為（0，1）．
（2）當(dāng)a＞1時，原不等式log_a（2a-1）＞1=log_aa等價于

a＞1 2a-1＞a

，
解不等式組可得1＜a，
∴不等式的解集為：{a|1＜a}；
當(dāng)0＜a＜1時，原不等式等價于

0＜a＜1 0＜2a-1＜a

，
解不等式組可得

1

2

＜a＜1，
∴不等式的解集為：{a|

1

2

＜a＜1或1＜a}；

點評：本題考查的知識點是對數(shù)不等式的解法，涉及分類討論和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握指數(shù)（對數(shù)）不等式解法的步驟是解答本題的關(guān)鍵．①將不等式兩邊底數(shù)化成一致（本題中兩邊底數(shù)已經(jīng)相等，省略此步驟）②分析底數(shù)與1的關(guān)系，并判斷對應(yīng)指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)的單調(diào)性③根據(jù)對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式③對數(shù)不辭勞苦還要考慮真數(shù)必須大于0．