Question

【題目】已知函數.

（1）求在區(qū)間上的最大值；

（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；

（3）問過點分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結論）

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：（1）求導數，導數等于0求出，再代入原函數解析式，最后比較大小，即可；（2）設切點，由相切得出切線方程，然后列表并討論求出結果;(3)由（2）容易得出結果.

(1)由得，令，得或，

因為， ， ， ，

所以在區(qū)間上的最大值為.

（2）設過點P（1，t）的直線與曲線相切于點，則

，且切線斜率為，所以切線方程為，

因此，整理得： ，

設 ，則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同零點”， =，

與的情況如下：

		0		1
	+	0		0	+
		t+3

所以， 是的極大值， 是的極小值，

當，即時，此時在區(qū)間和上分別至多有1個零點，所以

至多有2個零點，

當， 時，此時在區(qū)間和上分別至多有1個零點，所以

至多有2個零點.

當且，即時，因為，，

所以分別為區(qū)間和上恰有1個零點，由于在區(qū)間和上單調，所以分別在區(qū)間和上恰有1個零點.

綜上可知，當過點存在3條直線與曲線相切時，t的取值范圍是.

（3）過點A（-1，2）存在3條直線與曲線相切；

過點B（2，10）存在2條直線與曲線相切；

過點C（0，2）存在1條直線與曲線相切.