Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax²-x+2，
（1）當a=1時，當x∈[1，+∞）時，求函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$的最小值；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）-2ax≤0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本不等式即可求出函數(shù)的最小值，
（2）原不等式化為（x-2）（ax-1）≤0，再分類討論即可求出不等式的解集．

解答 解：（1）a=1時，當x∈[1，+∞）時，函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-1≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$-1=2$\sqrt{2}$-1，當且僅當x=$\sqrt{2}$時取等號，
故函數(shù)$\frac{f（x）}{x}$的最小值為2$\sqrt{2}$-1，
（2）f（x）-2ax≤0，
即ax²-x+2-2ax≤0，
即（x-2）（ax-1）≤0，
當a=0時，解得x≥2，即解集為[2，+∞）
當a＜0時，解得x≤$\frac{1}{a}$或x≤2，即解集為（-∞，$\frac{1}{a}$]∪[2，+∞）
當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，解得2≤x≤$\frac{1}{a}$，即解集為[2，$\frac{1}{a}$]
當a=$\frac{1}{2}$時，解得x=2，即解集為{2}
當a＞$\frac{1}{2}$時，解得得$\frac{1}{a}$≤x≤2，即解集為[$\frac{1}{a}$，2]

點評 本題考查了基本不等式的應用和含有參數(shù)的一元二次不等式的解法，屬于中檔題．