Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=1
（1）確定b，c的值；
（2）若過點(diǎn)（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同切線，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用曲線f（x）在x=0處的切線方程y=1，列出方程解出b、c；
（2）構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，令其極大值大于0，其極小值小于0即可解決．

解答： 解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=x²-ax+b，
∵曲線f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c在x=0處的切線方程y=1，
∴f′（0）=b=0，f（0）=c=1，
∴b=0，c=1；
（2）由題意f′（x）=x²-ax．
由于點(diǎn)（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），
而點(diǎn)（0，2）在切線上，則2-f（t）=f'（t）（-t），即有

2

3

t³-

1

2

at²+1=0
設(shè)g（t）=

2

3

t³-

1

2

at²+1，g′（t）=2t²-at，則過點(diǎn)（0，2）可作y=f（x）的三條切線，
等價(jià)于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三個(gè)相異的實(shí)根，
即等價(jià)于方程

2

3

t³-

1

2

at²+1=0有三個(gè)相異的實(shí)根①若a＞0，則有

由g（t）的單調(diào)性知：要使g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)根，則g（0）=1＞0，且g（

a

2

）=-

a3

24

+1＜0，
②若a＜0，則g（

a

2

）＞0且g（0）＜0，無解．
∴a＞2

3	3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用以及數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用能力，對(duì)學(xué)生有一定的能力要求，有一定的難度