Question

在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為A，已知“葫蘆”型封閉曲線Ω由圓弧ACB和圓弧BDA組成．已知B（4，

π

2

），C（2

2

，

π

4

），D（4

2

，

3π

4

）
（1）求圓弧ACB和圓弧BDA的極坐標(biāo)方程；
（2）求曲線Ω圍成的區(qū)域面積．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）圓弧ACB是以(2，

π

2

)為圓心、2為半徑的半圓弧，即可得出圓弧ACB的極坐標(biāo)方程(0≤θ≤

π

2

)．圓弧BDA是以(2

2

，

3π

4

)為圓心，2

2

為半徑的圓弧，即可得出極坐標(biāo)方程(

π

2

≤θ≤

5π

4

)．
（2）曲線Ω圍成的區(qū)域面積=

1

2

π×22+π(2

2

)2+

1

4

×π×(2

2

)2-

1

2

×(2

2

)2．

解答： 解：（1）圓弧ACB是以(2，

π

2

)為圓心、2為半徑的半圓弧，
∴圓弧ACB的極坐標(biāo)方程為：ρ=4sinθ(0≤θ≤

π

2

)．
圓弧BDA是以(2

2

，

3π

4

)為圓心，2

2

為半徑的圓弧，
其極坐標(biāo)方程為：ρ=4（sinθ-cosθ）(

π

2

≤θ≤

5π

4

)．
（2）曲線Ω圍成的區(qū)域面積=

1

2

π×22+π(2

2

)2+

1

4

×π×(2

2

)2-

1

2

×(2

2

)2=12π-4．

點(diǎn)評：本題考查了直角坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程、圓的面積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．