如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=
1
2
CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）求證：PD⊥AB；
（2）在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)Q，使BQ∥平面PAD？證明你的結(jié)論．
考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的性質(zhì)
專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）運(yùn)用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可證得PD⊥AB；
（2）延長DA交CB延長線于E，連接PE，由已知可得B為EC中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)Q為CD中點(diǎn)，推斷出BQ∥PE，最后利用線面平行的判定定理得出．
解答： （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，
∵AB∥CD，∠ADC=90°，∴AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD；
（2）存在Q為PC中點(diǎn)．
證明：延長DA交CB延長線于E，連接PE，
∵AB∥CD，AB=
1
2
CD，
∴B為EC中點(diǎn)；
取Q為CP中點(diǎn)，
∴BQ∥PE，
又BQ?面PAD，PE?面PAD
∴BQ∥平面PAD．
點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行的判定定理以及線面垂直的判定和性質(zhì)定理，考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在半徑為3的同一個球面上．若兩圓錐的高的比為1：2，則兩圓錐的體積之和為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義一個新的運(yùn)算a*b：a*b=
a+b
2
，則同時含有運(yùn)算符號“*”和“+”且對任意三個實(shí)數(shù)a，b，c都能成立的一個等式可以是
 
（只要寫出一個即可）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=2x滿足：對任意x1、x2∈R且x1≠x2都有f（
x1+x2
2
）＜
1
2
[f（x1）+f（x2）]；
②函數(shù)f（x）=log2（x+
1+x2
），g（x）=1+
2
2x-1
不都是奇函數(shù)；
③若函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，則f（7）=-2；
④設(shè)x1、x2是關(guān)于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的兩根，則x1x2=1，
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+px+q，|f（x）|＞2在區(qū)間（1，5）無解，求所有的有序?qū)崝?shù)對（p，q）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x、y≥0，且x2+y3≥x3+y4 ，求證：x3+y3≤2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＞CD．設(shè)以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為2，以C，D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率e等于（　　）
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
2
D、
5
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為A，已知“葫蘆”型封閉曲線Ω由圓弧ACB和圓弧BDA組成．已知B（4，
π
2
），C（2
2
，
π
4
），D（4
2
，
3π
4
）
（1）求圓弧ACB和圓弧BDA的極坐標(biāo)方程；
（2）求曲線Ω圍成的區(qū)域面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在空間幾何體AB-CDEF中，底面CDEF為矩形，DE=1，CD=2，AD⊥底面CDEF，AD=1，平面BEF⊥底面CDEF，且BE=BF=
2
．
（Ⅰ）求平面ABE與平面ABF所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M，N分別在線段DF，BC上，且DM=λDF，CN=μCB．若MN⊥平面BCF，求λ，μ的值．

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同步練習(xí)冊答案