Question

已知下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=2^x滿足：對任意x₁、x₂∈R且x₁≠x₂都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]；
②函數(shù)f（x）=log₂（x+

1+x2

），g（x）=1+

2

2x-1

不都是奇函數(shù)；
③若函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，則f（7）=-2；
④設(shè)x₁、x₂是關(guān)于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的兩根，則x₁x₂=1，
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：對四個命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答： 解：①函數(shù)f（x）=2^x是凹函數(shù)，對任意x₁、x₂∈R且x₁≠x₂都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立，故正確；
②f（x）+f（-x）=log₂（x+

1+x2

）+log₂（-x+

1+x2

）=0，∴f（x）=log₂（x+

1+x2

）是奇函數(shù)，故②不正確；
③若函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=-f（x+1），則f（x+2）=-f（x），f（x+4）=f（x），∴f（7）=f（-1），
∵f（-1）=-f（1）且f（1）=2，∴f（7）=-2，正確；
④設(shè)x₁、x₂是關(guān)于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的兩根，則x₁x₂=1，
∵|log_ax|=k（a＞0，a≠1），∴l(xiāng)og_ax=±k，∴x₁=a^k，x₂=a^-k，則x₁x₂=a^k•a^-k=a⁰=1，∴命題正確；
所以，正確命題的序號是：①③④
故答案為：①③④．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了函數(shù)單調(diào)的性質(zhì)與圖象的變換以及方程的知識，是容易出錯的題目．