Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＞CD．設(shè)以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為2，以C，D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率e等于（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  5

  5

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)AD=t，不妨設(shè)AB=2t，令∠DAB=θ，由余弦定理可求得 BD，由題意并結(jié)合橢圓、雙曲線的定義，求出a和 c的值，用t表示e₁ 和e₂ 的值，即可得到 e₁•e₂ 的值．

解答： 解：設(shè)AD=t，AB=2t，令∠DAB=θ，則由余弦定理可求得BD=

t2+4t2-2t×2tcosθ

=t

5-4cosθ

．
在雙曲線中，2a=DB-DA=t

5-4cosθ

-t，
c=t，

c

a

=

t

t 5-4cosθ -t 2

=

2

5-4cosθ -1

=雙曲線離心率e₁．
在橢圓中，2a=BD+BC=t

5-4cosθ

+t，2c=DC，
在△BCD中，由余弦定理可得
BD²=BC²+DC²-2BD•DC cos（π-θ），即   t²（5-4cosθ）=t²+4c²+2t•2c•cosθ，
c=t（1-cosθ），e₂=

c

a

=

t(1-cosθ)

t 5-4cosθ +t 2

=

2(1-cosθ)

5-4cosθ +1

．
∴e₁•e₂=

2

5-4cosθ -1

×

2(1-cosθ)

5-4cosθ +1

=1，
∵以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為2，∴以C，D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率e等于

1

2

．
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓和雙曲線的離心率的表示，考查考生對圓錐曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)定義計(jì)算，屬于中檔題．