Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90℃，BC=2AD，△PAB與△PAD都是等邊三角形，平面ABCD⊥平面PBD．
（I）證明：CD⊥平面PBD；
（II）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（I）取BC中點E，連結(jié)AE、BD，∵△PAB和△PCD都是等邊三角形，∴AD=AB，
∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，∴四邊形ABED為正方形，
設(shè)AB=2，則BD=CD=2 ，BC=4，
∴BD2+CD2=BC2 ，
∴CD⊥BD，
∵平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD=BD，
∴CD⊥平面PBD．
解：（II）由（I）知CD⊥平面PBD，又PD面PBD，∴CD⊥PD．
取PD的中點F，PC的中點G，連結(jié)FG，
則FG∥CD，F(xiàn)G⊥PD．
連結(jié)AF，由△APD為等邊三角形，得AF⊥PD．
∴∠AFG為二面角A﹣PD﹣C的平面角．
連結(jié)AG、EG，則EG∥PB．
又PB⊥AE，∴EG⊥AE，
設(shè)AB=2，則AE=2 ，EG= =1，
AG= =3，
在△AFG中，F(xiàn)G= = ，AF= ，AG=3，
∴cos∠AFG= =﹣ ．
∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值為 ．

【解析】（I）取BC中點E，推導(dǎo)出四邊形ABED為正方形，從而CD⊥BD，由此能證明CD⊥平面PBD．（II）由（I）知CD⊥平面PBD，從而CD⊥PD．取PD的中點F，PC的中點G，連結(jié)FG，連結(jié)AF，得∠AFG為二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能示出二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題．