分析 (1)在△ABC中,利用余弦定理可求AC,進(jìn)而在△ACD中,利用勾股定理可求AD的值.
(2)設(shè)AC=x,CD=√3x,在△ABC中,利用余弦定理可求x2=4-2√3cosθ,利用正弦定理可得sin∠ACB=sinθx,進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,余弦定理可求BD=√15+12sin(θ−π3),結(jié)合范圍θ∈(0,π),利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求BD的最大值.
解答 (本題滿分為12分)
解:(1)在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC,
∴AC2=1+3-2√3cos30°=1,
∴AC=1…(2分)
在△ACD中,AD2=AC2+DC2=4AC2=4,
∴AD=2.…(4分)
(2)設(shè)AC=x,CD=√3x,
在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC,
x2=4-2√3cosθ,…(5分)
∵ACsinθ=ABsin∠ACB=1sin∠ACB,
∴sin∠ACB=sinθx.…(7分)
在△BCD中,BD=√(√3)2+(√3x)2−2√3•(√3x)cos(π2+∠ACB)=√3+3x2+6xsin∠ACB
=√3+12−6√3cosθ+6xsinθx=√15−6√3cosθ+6sinθ=√15+12(12sinθ−√32cosθ)=√15+12sin(θ−π3),…(10分)
∵θ∈(0,π),
∴θ-π3∈(-π3,2π3),當(dāng)θ-π3=π2,θ=5π6時(shí)BD取到最大值3√3.…(12分)
點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理,勾股定理三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,考查了數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [2,+∞) | B. | (-∞,2] | C. | [-2,+∞) | D. | (-∞,-2] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 12 | B. | 9 | C. | 15 | D. | 18 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | −32 | B. | 0 | C. | −32或0 | D. | 2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | f(x)=1x? | B. | f(x)=(13)x | C. | f(x)=-x2+1 | D. | f(x)=lg|x| |
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