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9.如圖,在凸四邊形ABCD中,AB=1,BC=3,AC⊥DC,CD=3AC.設(shè)∠ABC=θ.
(1)若θ=30°,求AD的長;
(2)當(dāng)θ變化時(shí),求BD的最大值.

分析 (1)在△ABC中,利用余弦定理可求AC,進(jìn)而在△ACD中,利用勾股定理可求AD的值.
(2)設(shè)AC=x,CD=3x,在△ABC中,利用余弦定理可求x2=4-23cosθ,利用正弦定理可得sin∠ACB=sinθx,進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,余弦定理可求BD=15+12sinθπ3,結(jié)合范圍θ∈(0,π),利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求BD的最大值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC,
∴AC2=1+3-23cos30°=1,
∴AC=1…(2分)
在△ACD中,AD2=AC2+DC2=4AC2=4,
∴AD=2.…(4分)
(2)設(shè)AC=x,CD=3x,
在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC,
x2=4-23cosθ,…(5分)
ACsinθ=ABsinACB=1sinACB,
∴sin∠ACB=sinθx.…(7分)
在△BCD中,BD=32+3x2233xcosπ2+ACB=3+3x2+6xsinACB
=3+1263cosθ+6xsinθx=1563cosθ+6sinθ=15+1212sinθ32cosθ=15+12sinθπ3,…(10分)
∵θ∈(0,π),
∴θ-π3∈(-π3,2π3),當(dāng)θ-π3=π2,θ=5π6時(shí)BD取到最大值33.…(12分)

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理,勾股定理三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,考查了數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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