【題目】已知圓 M與圓N:(x﹣ 2+(y+ 2=r2關(guān)于直線y=x對(duì)稱,且點(diǎn)D(﹣ , )在圓M上.
(1)判斷圓M與圓N的公切線的條數(shù);
(2)設(shè)P為圓M上任意一點(diǎn),A(﹣1, ),B(1, ),P,A,B三點(diǎn)不共線,PG為∠APB的平分線,且交AB于G,求證:△PBG與△APG的面積之比為定值.

【答案】
(1)解:由于點(diǎn)N( ,﹣ )關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)M(﹣ , ),

r=|ND|= ,故圓M的方程為:(x+ 2+(y﹣ 2=

根據(jù)|MN|= = >2r,故兩圓相離,

∴圓M與圓N的公切線有4條.


(2)證明:設(shè)∠PAB=2α,則∠APG=∠BPG=α,∴△PBG與△APG的面積之比=

設(shè)點(diǎn)P(x,y),則:(x+ 2+(y﹣ 2=

PA2=(x+1)2+(y﹣ 2 =(x+1)2+ ﹣(x+ 2=﹣ x;

PB2=(x﹣1)2+(y﹣ 2 =(x﹣1)2+ ﹣(x+ 2=﹣ x;

=2,即△PBG與△APG的面積之比=2.


【解析】(1)先求得點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo),可得圓M的方程,再根據(jù)圓心距大于兩圓的半徑之和,可得兩圓相離,即可得出結(jié)論;(2)設(shè)∠PAB=2α,則∠APG=∠BPG=α,可得△PBG與△APG的面積之比= .設(shè)點(diǎn)P(x,y),求得PA2和 PB2的值,可得 的值,即為△PBG與△APG的面積之比.

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