Question

【題目】已知圓 M與圓N：（x﹣ ）2+（y+ ）2=r2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且點(diǎn)D（﹣ ， ）在圓M上．
（1）判斷圓M與圓N的公切線的條數(shù)；
（2）設(shè)P為圓M上任意一點(diǎn)，A（﹣1， ），B（1， ），P，A，B三點(diǎn)不共線，PG為∠APB的平分線，且交AB于G，求證：△PBG與△APG的面積之比為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于點(diǎn)N（ ，﹣ ）關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)M（﹣ ， ），

r=|ND|= ，故圓M的方程為：（x+ ）2+（y﹣ ）2= ．

根據(jù)|MN|= = ＞2r，故兩圓相離，

∴圓M與圓N的公切線有4條．

（2）證明：設(shè)∠PAB=2α，則∠APG=∠BPG=α，∴△PBG與△APG的面積之比= ．

設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：（x+ ）2+（y﹣ ）2= ．

PA2=（x+1）2+（y﹣ ）2 =（x+1）2+ ﹣（x+ ）2=﹣ x；

PB2=（x﹣1）2+（y﹣ ）2 =（x﹣1）2+ ﹣（x+ ）2=﹣ x；

∴ =2，即△PBG與△APG的面積之比=2．

【解析】（1）先求得點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)，可得圓M的方程，再根據(jù)圓心距大于兩圓的半徑之和，可得兩圓相離，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)∠PAB=2α，則∠APG=∠BPG=α，可得△PBG與△APG的面積之比= ．設(shè)點(diǎn)P（x，y），求得PA2和 PB2的值，可得 的值，即為△PBG與△APG的面積之比．