已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)計算a2,a3,a4的值,猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)若p,q,r是三個互不相等的正整數(shù),且p,q,r成等差數(shù)列,試判斷ap,aq,ar是否成等比數(shù)列?并說明理由.
考點:數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列,推理和證明
分析:(1)利用已知條件通過n=1,2,3,直接計算a2,a3,a4的值,根據(jù)計算結(jié)果,猜想的通{an}項公式,用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟直接證明即可.
(2)p,q,r成等差數(shù)列⇒p+r=2q,假設(shè)ap,aq,ar成等比數(shù)列,可由ap•ar=aq2⇒2p+2r=2×2q.(*)利用基本不等式 可得2p+2r>2
2p×2q
=2×2q,這與(*)式矛盾,從而可得ap,aq,ar不是等比數(shù)列.
解答: 解:(1)由已知a1=1,an+1=2an+1,
可得,n=1時,a2=2+1=3;
n=2時,a3=6+1=7;
n=3時,a4=14+1=15.…(3分)

由此猜想 an=2n-1.…(4分)
證明:①當(dāng)n=1時,由已知,a1=21-1=1,滿足條件.
…(6分)
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時猜想成立,即ak=2k-1.…(7分)
則n=k+1時,
ak+1=2ak+1=2(2k-1)+1=2k+1-1.
所以 當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.
根據(jù)①和②,可知猜想對于任何n∈N*都成立.…(9分)
(2)解:∵p,q,r成等差數(shù)列,
∴p+r=2q.
假設(shè)ap,aq,ar成等比數(shù)列,
則ap•ar=aq2,…(10分)
即(2p-1)(2r-1)=(2q-1)2,
化簡得:2p+2r=2×2q.(*)        …(11分)
∵p≠r,
∴2p+2r>2
2p×2q
=2×2q
這與(*)式矛盾,故假設(shè)不成立.…(13分)
∴ap,aq,ar不是等比數(shù)列.…(14分)
點評:本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的前n項和等基礎(chǔ)知識,考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,屬于難題.
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;       
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e1
e2
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AB
=
e1
+
e2
,
BC
=2
e1
+8
e2
CD
=3
e1
-3
e2
,求證:A、B、D三點共線;
(2)若|
e1
|=2,|
e2
|=3,
e1
e2
的夾角為60°,是否存在實數(shù)m,使得m
e1
+
e2
e1
-
e2
垂直?并說明理由.

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