Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|x-4|．
（1）求不等式f（x）＜2的解集．
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜2 3a2-7a+4的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,指、對(duì)數(shù)不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）原不等式為|x-3|+|x-4|＜2，分類討論，去掉絕對(duì)值，求得不等式的解集．
（2）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式求得f（x）的最小值為1，可得當(dāng)3a²-7a+4≤0時(shí)，關(guān)于x的不等式f(x)＜23a2-7a+4的解集為空集，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，原不等式為|x-3|+|x-4|＜2，當(dāng)x＜3時(shí)，原不等式為7-2x＜2，解得x＞

5

2

，∴

5

2

＜x＜3．
當(dāng)3≤x≤4時(shí)，原不等式為1＜2，∴3≤x≤4．
當(dāng)x＞4時(shí)，原不等式為2x-7＜2，解得x＜

9

2

，∴4＜x＜

9

2

．
綜上，原不等式的解集為{x|

5

2

＜x＜

9

2

}．
（2）∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，故f（x）的最小值為1，
∴當(dāng)3a²-7a+4≤0時(shí)，2 3a2-7a+4＜1，故關(guān)于x的不等式f(x)＜23a2-7a+4的解集為空集．
解得：1≤a≤

4

3

，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，

4

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．