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【題目】已知函數.

（Ⅰ）求過點且與曲線相切的直線方程；

（Ⅱ）設，其中為非零實數，若有兩個極值點，且，求證：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由導函數研究函數的切線，求得函數在點 處的切線斜率為 ，據此可得切線方程為；

(Ⅱ)利用題意構造函數 ，結合(I)的結論和導函數與原函數的關系即可證得結論.

試題解析：

（Ⅰ）

設切點為，則切線的斜率為

點在上，

，解得

切線的斜率為，切線方程為

（Ⅱ）

當時，即時，在上單調遞增；

當時，由得，，故在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，由得，在上單調遞減，在上單調遞增.

當時，有兩個極值點，即，

，由得，

由

，即證明

即證明

構造函數，

在上單調遞增，

又，所以在時恒成立，即成立

.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2﹣2x．
（1）求f（x）的解析式，并畫出的f（x）圖象；

（2）設g（x）=f（x）﹣k，利用圖象討論：當實數k為何值時，函數g（x）有一個零點？二個零點？三個零點？

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【題目】下列四個函數：①y=3﹣x；② ；③y=x2+2x﹣10；④ ，其中值域為R的函數有（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓為參數和直線 其中為參數， 為直線的傾斜角.

（1）當時，求圓上的點到直線的距離的最小值；

（2）當直線與圓有公共點時，求的取值范圍．

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【題目】以直角坐標系的原點為極點， 軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線的參數方程為，（ 為參數， ），曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）設直線與曲線相交于， 兩點，當變化時，求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱VA⊥底面ABCD，點E為VA的中點．
（Ⅰ）求證：VC∥平面BED；
（Ⅱ）求證：平面VAC⊥平面BED．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直線l過點P（0，2），斜率為k，圓Q：x2+y2﹣12x+32=0．
（1）若直線l和圓相切，求直線l的方程；
（2）若直線l和圓交于A、B兩個不同的點，問是否存在常數k，使得+與共線？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若集合A={x|ax2﹣3x+2=0，a∈R}有且僅有兩個子集，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某服裝銷售公司進行關于消費檔次的調查，根據每人月均服裝消費額將消費檔次分為0-500元；500-1000元；1000-1500元；1500-2000元四個檔次，針對兩類人群各抽取100人的樣本進行統(tǒng)計分析，各檔次人數統(tǒng)計結果如下表所示：

0～

500元

500～

1000元

1000～

1500元

1500～

2000元

A類

20

50

20

10

B類

50

30

10

10

月均服裝消費額不超過1000元的人群視為中低消費人群，超過1000元的視為中高收入人群.

（Ⅰ）從類樣本中任選一人，求此人屬于中低消費人群的概率；

（Ⅱ）從兩類人群中各任選一人，分別記為甲、乙，估計甲的消費檔次不低于乙的消費檔次的概率；

（Ⅲ）以各消費檔次的區(qū)間中點對應的數值為該檔次的人均消費額，估計兩類人群哪類月均服裝消費額的方差較大（直接寫出結果，不必說明理由）.

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