Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，M是橢圓上任意一點(diǎn)，若以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長(zhǎng)為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，且△MF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l是圓O：x²+y²=

4

3

上動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀•y₀≠0）處的切線，l與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)Q，R，證明：∠QOR的大小為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,圓的切線方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長(zhǎng)為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，可得b=c，利用△PF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2

2

，可得a+c=2+

2

，從而可求橢圓的幾何量，進(jìn)而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的l方程與橢圓方程聯(lián)立，記Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，確定x₁x₂+y₁y₂=0，即可證得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：因?yàn)橐宰鴺?biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長(zhǎng)為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，所以b=c，可得a=

2

c，
又因?yàn)椤鱌F₁F₂的周長(zhǎng)為4+2

2

，所以a+c=2+

2

，所以c=

2

，
所以a=2，b=

2

，所以所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．   　　　　　   …（5分）
（Ⅱ）證明：直線的l方程為x₀x+y₀y=

4

3

，且x₀²+y₀²=

4

3

，記Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得（2x₀²+y₀²）x²-

16

3

x₀x+

32

9

-4y₀²=0，
∴x₁+x₂=

16 3 x0

2x02+y02

，x₁x₂=

32 9 -4y02

2x02+y02

，…（8分）
∴y₁y₂=

16 9 -4x02

2x02+y02

，…（10分）
∴x₁x₂+y₁y₂=

32 9 -4y02

2x02+y02

+

16 9 -4x02

2x02+y02

=0
∴∠QOR=90°為定值．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．