Question

已知函數(shù)y=

2-x 2+x

+

2x-2

的定義域為M．
（1）求M；
（2）當x∈M時，求函數(shù)f（x）=log₂x•log₂（x²）+alog₂x的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意得，

2+x≠0 2-x 2+x ≥0 2x-2≥0

，從而解得；
（2）f（x）=log₂x•log₂（x²）+alog₂x=2（log₂x）²+alog₂x=2（log₂x+

a

4

）²-

a2

8

；討論求函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）由題意得，

2+x≠0 2-x 2+x ≥0 2x-2≥0

，
解得，1≤x≤2；
故M=[1，2]；
（2）f（x）=log₂x•log₂（x²）+alog₂x
=2（log₂x）²+alog₂x
=2（log₂x+

a

4

）²-

a2

8

；
∵x∈[1，2]；
∴l(xiāng)og₂x∈[0，1]；
①當

a

4

≥0，即a≥0時，
f_min（x）=f（1）=0；
②當-1＜

a

4

＜0，即-4＜a＜0時，
f_min（x）=f（-

a

4

）=-

a2

8

；
③當

a

4

≤-1，即a≤-4時，
f_min（x）=f（2）=2+a．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域及函數(shù)的最值，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．