Question

（2012•樂山二模）已知A．B．C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為△ABC的外心，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

[(1-λ) OA +(1-λ) OB +(1+2λ) OC ]

3

（λ∈R），則P的軌跡一定過△ABC的（　　）

A．內(nèi)心

B．垂心

C．重心

D．AC邊的中點(diǎn)

Answer 1

分析：根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則向量的運(yùn)算法則，對

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]進(jìn)行化簡，得到

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，根據(jù)三點(diǎn)共線的充要條件知道P、C、D三點(diǎn)共線，從而得到點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．

解答：解：取AB的中點(diǎn)D，則 2

OD

=

OA

+

OB

∵

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]
∴

OP

=

1

3

[(1-λ)(2

OD

)+(1+2λ)

OC

]
=

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，
而

2(1-λ)

3

+

1+2λ

3

=1，
∴P、C、D三點(diǎn)共線，
∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．
故選C．

點(diǎn)評：本小題主要考查向量的加法法則和運(yùn)算法則、三點(diǎn)共線的充要條件的應(yīng)用、三角形五心等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．