Question

在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊長，若，，a=2，且=．
（Ⅰ）若△ABC的面積S=，求b+c的值；
（Ⅱ）若R為△ABC的外接圓半徑，且2RsinB+2RsinC＜P（P為參數(shù)）恒成立，求P的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）=-cos²+sin²=
∴cosA=-
∵A∈（0，π）∴A=．
由S=cbsinA==，?bc=4，…①
又a²=b²+c²-2bccosA可得b²+c²=8…②
所以解①②可得：b+c=4 （6分）
（Ⅱ）由（I）可得B+C=
由正弦定理可得，2R=，得：b=4sinB，c=4sinC，
∴b+c=4（sinB+sinC）=4（sinB+sin（））=4sin（）
∵B∈∴sin（）∈（]，
∴2RsinB+2RsinC=b+c…
∴p＞4 （12分）
（也可用余弦定理結(jié)合基本不等式求解，解答略）
分析：（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積，求出cosA的值，然后求出A，利用△ABC的面積S=，以及余弦定理即可求b+c的值；
（Ⅱ）通過正弦定理求出b+c的值，推出sin（）的范圍，求出2RsinB+2RsinC的最大值，然后求出的取值范圍．
點評：本題推出向量的數(shù)量積，考查三角函數(shù)的化簡求值，正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，考查計算能力．