Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，n∈N^*，且點(diǎn)（2，a₂），（a₇，S₃）均在直線x-y+1=0上
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

2

2Sn-n

，T_n=2^b₁•2^b₂•…•2^b_n，試比較T_n與

4	8

的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得

2-a2+1=0 a7-S3+1=0

，從而a₁=2，d=1，由此能求出S_n．
（Ⅱ）由b_n=

2

2Sn-n

=

2

n2+2n

=

1

n

-

1

n+2

，得b₁+b₂+…+b_n=1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

2

，從而T_n=2^b₁•2^b₂•…•2^b_n=2b1+b2+…+bn＜2

3

2

，由此得到n=1時(shí)，T_n＜

4	8

；n≥2時(shí)，T_n＞

4	8

．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，n∈N^*，
且點(diǎn)（2，a₂），（a₇，S₃）均在直線x-y+1=0上，
∴

2-a2+1=0 a7-S3+1=0

，∴

a1+d=3 a1+6d-3a1-3d+1=0

，
解得a₁=2，d=1，
∴S_n=2n+

n(n-1)

2

×1=

n2+3n

2

．
（Ⅱ）b_n=

2

2Sn-n

=

2

n2+2n

=

1

n

-

1

n+2

，
∴b₁+b₂+…+b_n=1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

2

，
∴T_n=2^b₁•2^b₂•…•2^b_n
=2b1+b2+…+bn＜2

3

2

=

8

，
當(dāng)n=1時(shí)，T_n=2

3

2

-

1

2

-

1

3

=2

2

3

＜2

3

4

=

4	8

，
當(dāng)n=2時(shí)，T_n=2

3

2

-

1

3

-

1

4

=2

11

12

＞2

3

4

=

4	8

，
∵{T_n}是增數(shù)列，
∴n=1時(shí)，T_n＜

4	8

；n≥2時(shí)，T_n＞

4	8

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查T_n與

4	8

的大小的比較，解題時(shí)要注意等差數(shù)列的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．