Question

已知，n∈N_＋，A_n＝2n²，B_n＝3ⁿ，試比較A_n與B_n的大小，
并加以證明．

Answer 1

n∈N_＋時(shí)，A_n<B_n成立

當(dāng)n＝1時(shí)：A₁＝2，B₁＝3，有A₁<B₁；
當(dāng)n＝2時(shí)：A₂＝8，B₂＝9，有A₂<B₂；
當(dāng)n＝3時(shí)：A₃＝18，B₃＝27，有A₃<B₃.
由上可歸納出當(dāng)n∈N_＋時(shí)，都有A_n<B_n.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(下面只證n≥2時(shí)成立)：
(1)當(dāng)n＝2時(shí)，由上可知不等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k∈N_＋，且k≥1)時(shí)不等式成立，即2k²<3^k，
則3^k＋1＝3×3^k＝3^k＋3^k＋3^k>2k²＋2k²＋2k².
由于2k²≥4k (k≥2)，2k²>2，
所以3^k＋1>2k²＋2k²＋2k²>2k²＋4k＋2＝2(k＋1)²，
這表明，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．
綜合(1)、(2)可知，n∈N_＋，n≥2時(shí)，都有A_n<B_n成立．
綜上可知n∈N_＋時(shí)，A_n<B_n成立．