已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0),對(duì)任意的x∈R,都有f(x-4)=f(2-x)成立;
(1)求2a-b的值;
(2)若a=1,f(0)=2,f(x)在區(qū)間[t,t+1](t∈R)上的最小值為2,求t的值;
(3)若函數(shù)f(x)取得最小值0,且對(duì)任意x∈R,不等式x≤f(x)≤(
x+1
2
2恒成立,求函數(shù)f(x)的解析式.
考點(diǎn):函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
專題:綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)對(duì)任意的x∈R,都有f(x-4)=f(2-x)成立,可得ax2+(b-8a)x+16a-4b=ax2-(b+4a)x+4a+2b,即可求2a-b的值;
(2)分類討論,利用f(x)在區(qū)間[t,t+1](t∈R)上的最小值為2,求t的值;
(3)確定f(x)=ax2+2ax+a.對(duì)任意x∈R,不等式x≤f(x)≤(
x+1
2
)2
恒成立,可得x=1時(shí),有1≤f(1)≤(
1+1
2
)2
,即1≤f(1)≤1,即可求函數(shù)f(x)的解析式.
解答: 解:(1)由對(duì)任意的x∈R,都有f(x-4)=f(2-x)成立,
有a(x-4)2+b(x-4)+c=a(2-x)2+b(2-x)+c
整理即得:ax2+(b-8a)x+16a-4b=ax2-(b+4a)x+4a+2b,
∵上式對(duì)于任意x∈R都成立,
b-8a=-(b+4a)
16a-4b=4a+2b
,可得2a=b,
∴2a-b=0…(4分)
(2)由(1)知:2a=b,又a=1,f(0)=2,可求得f(x)=x2+2x+2
二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為:x=-1;
當(dāng)t+1≤-1時(shí),則t≤-2,
此時(shí)函數(shù)f(x)在x∈[t,t+1]上為減函數(shù),f(x)min=f(t+1)=t2+4t+5=2,解得t=-1或-3
又由t≤-2,可得t=-3
當(dāng)t<-1<t+1時(shí),則-2<t<-1,
此時(shí),f(x)min=f(-1)=1≠2,故不符合題意;
當(dāng)t≥-1時(shí),
此時(shí)函數(shù)f(x)在x∈[t,t+1]上為增函數(shù),f(x)min=f(t)=t2+2t+2=2,解得t=0或-2
又由t≥-1,可得t=0
綜上:t=0或-3…(9分)
(3)由(1),可設(shè)f(x)=ax2+2a+c.
∵函數(shù)f(x)取得最小值0,∴f(x)min=
4ac-(2a)2
4a
=0
,即得:c=a,
∴f(x)=ax2+2ax+a
∵對(duì)任意x∈R,不等式x≤f(x)≤(
x+1
2
)2
恒成立,
∴x=1時(shí),有1≤f(1)≤(
1+1
2
)2
,即1≤f(1)≤1,
∴f(1)=1,∴f(1)=a•12+2a+a=4a=1,解得a=
1
4

此時(shí)f(x)=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4

經(jīng)檢驗(yàn):對(duì)任意x∈R,不等式x≤
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
≤(
x+1
2
)2
恒成立
f(x)=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的對(duì)稱性,考查函數(shù)恒成立問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(0<b<1)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C,求:
(Ⅰ)圓C的方程;
(Ⅱ)直線y=2-x能否將圓C分成弧長(zhǎng)之比為l:2的兩段?為什么?

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奇函數(shù)f(x)=
ax2+bx+1
cx+d
(x≠0,a>1),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)有最小值2
2
,又f(1)=3.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)正整數(shù)列{an}中,a1=
5
,
an+12
an
=f(an),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)對(duì)(2)中的數(shù)列{an},若g(x)=a12x+a22+x2+a32x3+…+an2xn(n∈N*),求函數(shù)g(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)g′(1),并比較2g′(1)與23n2-13n的大小.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x3-12x+2,x∈R,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax+b的圖象為曲線C
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)不是R上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的范圍.
(Ⅱ)若過曲線C外的點(diǎn)A(1,0)作曲線C的切線恰有兩條,
(1)求a,b的關(guān)系式.
(2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>x0•e x0+a成立,求a的取值范圍.

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已知集合A={x|y=
1-3x-1
},B={y|y=
1-3x-1
},C={x|2a+1≤x≤a+1},
(Ⅰ)求A∩B;
(Ⅱ)若C⊆(A∩B),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)=ax+
b
x
+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1),B(2,-1).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求證:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù);
(3)若|t-1|≤f(x)+2對(duì)x∈[-2,-1]∪[1,2]恒成立,求實(shí)數(shù)t的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知tanα=2,求下列各式的值:
(1)
4sinα-2cosα
5sinα+3cosα
;        
(2)3sin2α+3sinαcosα-2cos2α.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某個(gè)體服裝店經(jīng)營(yíng)各種服裝,在某周內(nèi)獲純利潤(rùn)y(元)與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系如下表:
x3456789
y66697381899091
已知:
7
i=1
xi2
=280,
7
i=1
xiyi=3487.(
?
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
xi2-n
.
x
2

(1)求
x
y
;   
(2)畫出散點(diǎn)圖;
(3)觀察散點(diǎn)圖,若y與x線性相關(guān),請(qǐng)求出純利潤(rùn)y與每天銷售件數(shù)x之間的回歸直線方程.

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