Question

在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)f（x）=x²+2x+b（0＜b＜1）的圖象與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C，求：
（Ⅰ）圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=2-x能否將圓C分成弧長之比為l：2的兩段��？為什么？

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設所求的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，根據(jù)x²+Dx+F=0和 x²+2x+b=0為同一個方程，可得 D=2，F(xiàn)=b；根據(jù)y²+Ey+b=0 和y=b為同一個方程，故有b²+Eb+b=0，可得E=-（1+b），從而求得圓的方程．
（Ⅱ）設直線與圓C交于A、B兩點，取線段AB的中點為D．若直線能將圓C分成弧長之比為l：2的兩段弧，則∠ACD=60°，則由cos∠ACD=

1

2

=

CD

AC

，可得CD=

1

2

AC．再由點到直線的距離公式可得CD=

|b-5|

2 2

，求得b=3，或 b=15，這都不滿足0＜b＜1，可得結論．

解答： 解：（Ⅰ）對于二次函數(shù)f（x）=x²+2x+b（0＜b＜1），由題意可得△=4-4b＞0，二次函數(shù)與y軸的交點為（0，b）．
設所求的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0，可得為x²+Dx+F=0．
由于為x²+Dx+F=0和 x²+2x+b=0為同一個方程，∴D=2，F(xiàn)=b．
在為x²+y²+Dx+Ey+F=0中，令x=0，可得 y²+Ey+b=0，由于它和y=b為同一個方程，故有b²+Eb+b=0，∴E=-（1+b），
故圓的方程為 x²+y²+2x-（1+b）y+b=0．
（Ⅱ）設直線y=2-x與圓C交于A、B兩點，根據(jù)圓心為（-1，

1+b

2

）、半徑為

1

2

4+(1-b)2

，取線段AB的中點為D．
若直線能將圓C分成弧長之比為l：2的兩段弧，則∠ACB=120°，∴∠ACD=60°，CD⊥AB，則由cos∠ACD=

1

2

=

CD

AC

，∴CD=

1

2

AC．
再由點到直線的距離公式可得CD=

|-1+ 1+b 2 -2|

2

=

|b-5|

2 2

，
∴=

|b-5|

2 2

=

1

4

4+(1-b)2

，求得b=3，或 b=15，這都不滿足0＜b＜1，故直線y=2-x不能將圓C分成弧長之比為l：2的兩段弧．

點評：本題主要考查求圓的標準方程的方法，直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題．