Question

設(shè)△AOB的頂點(diǎn)均在拋物線y²=2px（p＞O）上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB的垂心恰好是拋物線的焦點(diǎn)，求△AOB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：如圖所示，由于△AOB的垂心恰好是拋物線的焦點(diǎn)F(

p

2

，0)，可得AB⊥x軸．設(shè)A（s，t），B（s，-t），t²=2ps（s＞0）．利用

AF

•

OB

=0即可解出三s，t．

解答： 解：如圖所示，∵△AOB的垂心恰好是拋物線的焦點(diǎn)F(

p

2

，0)，
∴AB⊥x軸．
設(shè)A（s，t），B（s，-t），t²=2ps（s＞0）．
∵AF⊥OB，
∴

AF

•

OB

=(

p

2

-s，-t)•(s，-t)=s(

p

2

-s)+t2=0，
把t²=2ps代入上式可得：s(

p

2

-s)+2ps=0．
化為s=

5p

2

，∴t²=5p²．
∴△AOB的面積S=

1

2

×

5p

2

×2

5

p=

5 5 p2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三角形的垂心的性質(zhì)，考查了推理能力與與計(jì)算能力，屬于中檔題．