Question

【題目】對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)M>0，對(duì)任意的n∈N*，恒有，則稱數(shù)列為B-數(shù)列.

(1)首項(xiàng)為1，公比q()的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說明理由；

(2)設(shè)Sn是數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和，給出下列兩組論斷：

A組：①數(shù)列{xn}是B-數(shù)列，②數(shù)列{xn}不是B-數(shù)列

B組：①數(shù)列{Sn}是B-數(shù)列，②數(shù)列{Sn}不是B-數(shù)列

請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷為條件，另一組的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論.

(3)若數(shù)列{an}、都是B-數(shù)列，證明：數(shù)列{anbn}也是B-數(shù)列

Answer 1

【答案】（1）是B-數(shù)列（2）命題1為假命題. 命題2為真命題.（3）見解析

【解析】

解：(1)設(shè)滿足條件的等比數(shù)列為{an}，則.于是

因此，

因?yàn)?/span>|q|<1，所以

即

故首項(xiàng)為1，公比q(|q|<1)的等比數(shù)列是B-數(shù)列.

(2)命題1：若數(shù)列{xn}是B-數(shù)列，則數(shù)列{Sn}也是B-數(shù)列此命題為假命題.

事實(shí)上，設(shè)x=1，n∈N*，易知數(shù)列{xn}是B-數(shù)列，但Sn=n，

此時(shí).

由n的任意性，知數(shù)列{Sn}不是B-數(shù)列

命題2：若數(shù)列{Sn}是B-數(shù)列，則數(shù)列{xn}也是B-數(shù)列此命題為真命題.

事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列{Sn}是B-數(shù)列，所以存正數(shù)M，對(duì)任意n∈N*有

即.于是

所以數(shù)列{xn}是B-數(shù)列

按題中要求組成其它命題時(shí)，仿上述解法即可獲得解決.

(3)若數(shù)列{an}、{bn}都是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M1，M2，使得對(duì)任意n∈N*，有

，

.

注意到

同理，可得.記，則有

因此， .

故數(shù)列數(shù)列{anbn}是B-數(shù)列.