【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
(Ⅰ)若的圖像在處的切線經(jīng)過點(diǎn)(3,4),求的值;
(Ⅱ)若,求證: ;
(Ⅲ)當(dāng)函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),求的取值范圍.
【答案】(1) ;(2)詳見解析;(3) .
【解析】試題分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得:,再結(jié)合斜率公式進(jìn)而得出的值;(2)表示出,然后構(gòu)造函數(shù)通過討論函數(shù)的單調(diào)性證明;(3)將函數(shù)零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,通過導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性來解決.
試題解析:由題知
(Ⅰ) 2分
4分
(Ⅱ),令,
則7分
∴時(shí), 單調(diào)遞減,
故時(shí), ,
∴當(dāng)時(shí), 9分
(Ⅲ)
①
∴至多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意; 10分
②
∴至多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意; 11分
③
此時(shí), 在上遞減, 上遞增, 上遞減,所以, 至多有三個(gè)零點(diǎn).因?yàn)?/span>在遞增,所以,又因?yàn)?/span>,所以,使得,又,所以恰有三個(gè)不同零點(diǎn): ,所以函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí), 的取值范圍是. 14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線的斜率為,且與橢圓交于兩點(diǎn),設(shè)直線, (為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為,若對(duì)任意,存在實(shí)數(shù),使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,側(cè)棱垂直于底面, 分別是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面平面;
(2)求證: 平面;
(3)求三棱錐體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知數(shù)列的前項(xiàng)和,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令,是否存在,使得、、成等比數(shù)列.若存在,求出所有符合條件的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為1,求:
(1)直線與直線所成角的余弦值;
(2)平面與平面所成二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).動(dòng)直線過點(diǎn),且與橢圓相交于,兩點(diǎn)(直線與軸不重合).
(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求點(diǎn)坐標(biāo);
(2)點(diǎn),設(shè)直線,的斜率分別為,,求證:;
(3)求面積最大時(shí)的直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,且, 是棱的中點(diǎn),點(diǎn)在側(cè)棱上運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí),求證: 平面;
(2)當(dāng)直線與平面所成的角的正切值為時(shí),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)m,n是兩條不同直線,,,是三個(gè)不同平面,給出下列四個(gè)命題:①若m⊥,n⊥,則m//n;②若//,//,m⊥,則m⊥;③若m//,n//,則m//n;④⊥,⊥,則//.其中正確命題的序號(hào)是_______.
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