Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線的斜率為，且與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線， （為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，若對(duì)任意，存在實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由離心率中得，再點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程又得一關(guān)于的方程，結(jié)合可求得，得標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，設(shè)， ，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后可得，計(jì)算，并代入，由的任意性可得，由于直線與橢圓問(wèn)題相交的，因此點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，即，最終可得范圍．

試題解析：

（Ⅰ）橢圓的離心率，所以，

又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得， ，

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為.

由，消元可得，

設(shè)， ，則， ，

而 ，由，得，

因?yàn)榇说仁綄?duì)任意的都成立，所以，即.

由題意得點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故，即，解得.