Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b為常數(shù)且a≠0）在x=1處取得極值．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在閉區(qū)間[1，e]（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值為1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)導函數(shù)的解析式，進而根據(jù)x=1是f（x）的一個極值點f′（1）=0，可構造關于a，b的方程，根據(jù)a=1求出b值；可得函數(shù)導函數(shù)的解析式，分析導函數(shù)值大于0和小于0時，x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（II）對函數(shù)求導，寫出函數(shù)的導函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導函數(shù)和函數(shù)的情況，做出極值，把極值同端點處的值進行比較得到最大值，最后利用條件建立關于a的方程求得結果．

解答： 解：（I）因為f（x）=lnx+ax²+bx所以f′（x）=

1

x

+2ax+b，…（2分）
因為函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx在x=1處取得極值
f′（1）=1+2a+b=0…（3分）
當a=1時，b=-3，f′（x）=

2x2-3x+1

x

，
f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

…（5分）
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，

1

2

），（1，+∞）
單調遞減區(qū)間為（

1

2

，1）…（6分）
（II）因為f′（x）=

(2ax-1)(x-1)

x

令f′（x）=0，x₁=1，x₂=

1

2a

…（7分）
因為f（x）在 x=1處取得極值，所以x₂=

1

2a

≠x₁=1，
當

1

2a

＜0時，f（x）在[1，e]上單調遞減，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為f（1），
故f（1）=1，解得a=-2…（9分）
當a＞0，x₂=

1

2a

＞0
當

1

2a

＜1時，f（x）在[1，e]上單調遞增，
所以最大值1在x=e處取得，
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a=

1

e-2

…（11分）
當1≤

1

2a

＜e時，f（x）在區(qū)間[1，

1

2a

]上單調遞減，[

1

2a

，e]上單調遞增，
所以最大值1可能在x=1或x=e處取得
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=

1

e-2

，與1＜x₂=

1

2a

＜e矛盾…（12分）
當x₂=

1

2a

≥e時，f（x）在區(qū)間在[1，e]單調遞減，
所以最大值1可能在x=1處取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾
綜上所述，a=

1

e-2

或a=-2．…（13分）

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中根據(jù)已知條件確定a，b值，得到函數(shù)導函數(shù)的解析式并對其符號進行分析，是解答的關鍵．屬難題．