Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程為l：y=h（x）．當(dāng)x≠x₀時(shí)，若

g(x)-h(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱(chēng)P為函數(shù)y=g（x）的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”．當(dāng)a=8時(shí)，問(wèn)函數(shù)y=f（x）是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”？若存在，求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將a=1代入函數(shù)表達(dá)式，求出導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間從而求出函數(shù)的極值；
（Ⅱ）a=8時(shí)，由y=f（x）在其圖象上一點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線方程，得h（x）=（2x₀+

8

x0

-10）（x-x₀）+x02-10x₀+8lnx₀，設(shè)F（x）=f（x）-h（x）=，則F（x₀）=0，F(xiàn)′（x）=f′x）-h′（x）=（2x+

8

x

-10）-（2x₀+

8

x0

-10）=

2

x

（x-x₀）（x-

4

x0

）；分別討論當(dāng)0＜x₀＜2，x₀=2，x₀＞2時(shí)的情況，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f′（x）=2x-3+

1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，0＜x＜

1

2

，或x＞1，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，

1

2

＜x＜1，
∴f（x）在（0，

1

2

）和（1，+∞）遞增，在（

1

2

，1）遞減；
∴x=

1

2

時(shí)，f（x）_極大值=-

5

4

+ln

1

2

，
x=1時(shí)，f（x）_極小值=-2；
（Ⅱ）a=8時(shí)，由y=f（x）在其圖象上一點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線方程，
得h（x）=（2x₀+

8

x0

-10）（x-x₀）+x02-10x₀+8lnx₀，
設(shè)F（x）=f（x）-h（x）=，則F（x₀）=0，
F′（x）=f′x）-h′（x）=（2x+

8

x

-10）-（2x₀+

8

x0

-10）
=

2

x

（x-x₀）（x-

4

x0

）；
當(dāng)0＜x₀＜2時(shí)，F(xiàn)（x）在（x₀，

4

x0

）上遞減，
∴x∈（x₀，

4

x0

）時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（x₀）=0，此時(shí)

F(x)

x-x0

＜0，
x₀＞2時(shí)，F(xiàn)（x）在（

4

x0

，x₀）上遞減；
∴x∈（

4

x0

，x₀）時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（x₀）=0，此時(shí)

F(x)

x-x0

＜0，
∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，
x₀=2時(shí)，F(xiàn)′（x）=

2

x

（x-2）²，即F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
x＞x₀時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（x₀）=0，x＜x₀時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（x₀）=0，
即點(diǎn)P（x₀，f（x₀））為“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，
故函數(shù)y=f（x）存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，且2是“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值問(wèn)題，如何解決新定義的問(wèn)題，是一道綜合題．