如圖,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,點(diǎn)M,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).
(1)證明:MN∥平面A′ACC′;
(2)求三棱錐A′-MNC的體積.
(錐體體積公式V=Sh,其中S為底面面積,h為高)
(1)見解析(2)
【解析】解:(1)(證法一)連結(jié)AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,
AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱,
所以M為AB′中點(diǎn),
又因?yàn)镹為B′C′的中點(diǎn),所以MN∥AC′.
又MN⊄平面A′ACC′,
AC′⊂平面A′ACC′,
因此MN∥平面A′ACC′.
(證法二)取A′B′中點(diǎn)P,連結(jié)MP,NP,
M、N分別為AB′與B′C′的中點(diǎn),
所以MP∥AA′,PN∥A′C′,
所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,
又MP∩NP=P,
因此平面MPN∥平面A′ACC′,而MN⊂平面MPN.
因此MN∥平面A′ACC′.
(2)(解法一)連結(jié)BN,
由題意A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,
所以A′N⊥平面NBC.
又A′N=B′C′=1,故VA′-MNC=VN-A′MC=VN-A′BC=VA′-NBC=.
(解法二)
VA′-MNC=VA′-NBC-VM-NBC=VA′-NBC=.
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