Question

【題目】已知函數(shù)，其中，.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)且時.

①若有兩個極值點，（），求證：；

②若對任意的，都有成立，求正實數(shù)t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①證明見解析；②e.

【解析】

（1）將代入，求導(dǎo)后分類討論即可求得單調(diào)區(qū)間；（2）①將代入，由題意可得，，表示出，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可得證；②分，及兩種情況討論得解．

（1）當(dāng)時，，

當(dāng)時，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，遞減區(qū)間是；

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是，.

（2），

①因為有兩個極值點，（），故，而，故.

，是方程的兩根，

所以.則.

設(shè)（），.

所以

②當(dāng).由①的極大值，

又的極小值（）隨著的增大而減少，要使t取最大值.

則需的極小值，

又，所以，

得，.

當(dāng).在上是增函數(shù)，，所以.

綜上t的最大值為e.