Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx-2sin²

ωx

2

（ω＞0）的最小正周期為3π．當(dāng)x∈[

π

2

，

3π

4

]時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由三角函數(shù)中的恒等變換可得f（x）=2sin（ωx+

π

6

）-1，根據(jù)周期公式即可解得ω，即可求當(dāng)解析式f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）-1，由

π

2

≤x≤

3π

4

，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的最小值．

解答： 解：f(x)=

3

sinωx-2sin2

ωx

2

=

3

sin（ωx）-2•

1-cos(ωx)

2

=

3

sin（ωx）+cos（ωx）-1
=2sin（ωx+

π

6

）-1 …（4分）
依題意函數(shù)f（x）的最小正周期為3π，即

2π

ω

=3π，解得ω=

2

3

，
所以f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）-1．…（6分）
由

π

2

≤x≤

3π

4

，得  

π

2

≤

2

3

x+

π

6

≤

2π

3

，…（8分）
所以，當(dāng)

2

3

x+

π

6

=

2π

3

，即x=

3π

4

時，…（10分）
f（x）_最小值=2×

3

2

-1=

3

-1．…（12分）

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．