Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=2-x+lnx，下列說法正確的是（　�。�

• A、無零點(diǎn)
• B、有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
• C、有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且（x₁-1）（x₂-1）＞0
• D、有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且（x₁-1）（x₂-1）＜0

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合x→0時(shí)，f（x）→-∞，（1）=2-1+0=1＞0，f（e²）=2-e²+2＜0，從而確定函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且（x₁-1）（x₂-1）＜0．

解答： 解：f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，
則f（x）=2-x+lnx在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
又∵x→0時(shí)，f（x）→-∞，
f（1）=2-1+0=1＞0，
f（e²）=2-e²+2＜0，
則有兩個(gè)零點(diǎn)，且在1的兩側(cè)；
即有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且（x₁-1）（x₂-1）＜0，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)的確定，屬于基礎(chǔ)題．