Question

已知實數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有極大值32．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極大值．

解答： 解：（1）f′（x）=a（x-2）²+2ax（x-2）
=a（x-2）（x-2+2x）=a（x-2）（3x-2）
∵a＞0，
∴當(dāng)x≤

2

3

或x≥2時，f′（x）≥0，
則f（x）在區(qū)間（-∞，

2

3

]，[2，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)

2

3

≤x≤2時，f′（x）≤0，
則f（x）在區(qū)間[

2

3

，2]上單調(diào)遞減．
即函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，

2

3

]，[2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為[

2

3

，2]．
（2）f_極大值（x）=f（

2

3

）=a

2

3

（

2

3

-2）²=32，
解得a=27．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，是基礎(chǔ)題．