Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄恰好是等比數(shù)列{b_n}的前3項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}對于任意自然數(shù)n均有，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得：a₅²=a₂•a₁₄，
即：（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
整理化簡得：3d²-6d=0，∵公差d＞0∴d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
由
∴b_n=b₁q^n-1=3ⁿ
故數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式分別為：
a_n=2n-1，b_n=3ⁿ
（Ⅱ）由=（2n+2）n=2n（n+1）
∴
由；得數(shù)列{c_n}的前n項和為
；
=
分析：本題考查等差和等比數(shù)列的概念、通項公式的求法、構(gòu)造數(shù)列的應用、“裂項法”求前n項和等綜合性知識；
（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列{a_n}與{b_n}部分項的聯(lián)系，可以建立關(guān)于公差d的方程，由此得到d，然后在求出等比數(shù)列{b_n}的公比q的基礎(chǔ)上不難得到數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）所得數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式，根據(jù)可得數(shù)列{c_n}的通項公式，然后利用裂項求和方法即可得到數(shù)列{c_n}的前n項和．
點評：本題是對等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合性研究，求解環(huán)節(jié)較多，但解題思路清晰，方向明確，不難解決；有兩點需要注意：其一，熟練把握等差和等比數(shù)列之間的聯(lián)系，明確彼此項的關(guān)系，按照題目要求逐層解決；其二，“裂項法”求前n項和經(jīng)常用到，要總結(jié)“裂項”的特點和方法．