Question

已知四棱錐P-ABCD如圖1所示，其三視圖如圖2所示，其中正視圖和側視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形．
（Ⅰ）若E是PD的中點，求證：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求此四棱錐的表面積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）先證明CD⊥平面PAD，故有CD⊥AE．再由AE是等腰直角三角形PAD的底邊的中線可得AE⊥PD，再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得AE⊥平面PCD．
（Ⅱ）利用側面積與底面積的和，即可求出此四棱錐的表面積．

解答： （Ⅰ）證明：由三視圖可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA
∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD
又PA∩AD=A，PA?平面ABCD，AD?平面ABCD
∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD
又△PAD是等腰直角三角形，E為PD的中點，∴AE⊥PD
又PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD
∴AE⊥平面PCD…（7分）
（Ⅱ）解：由題意可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，其面積S_ABCD=2×2=4，高h=2，
∴四棱錐P-ABCD的表面積S=2•2+

1

2

•2•2+

1

2

•2•2+

1

2

•2•2

2

+

1

2

•2•2

2

=8+4

2

…（13分）

點評：本題主要考查三視圖、直線和平面垂直的判定定理的應用，求四棱錐P-ABCD的表面積，屬于中檔題．