已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=
4an-1
kan-1+1
(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)1<k<3時(shí),證明不等式:a1+a2+…+an
3n-8k
k
考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)分類討論,利用
1
an
-
k
3
=
1
4
1
an-1
-
k
3
),可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)由an=
3•4n-1
k•4n-1+3-k
得an-
3
k
=
3k-9
k(k•4n-1+3-k)
,從而可得an-
3
k
3k-9
k
1
k•4n-1
=
3k-9
k2
1
4n-1
,即可證明結(jié)論.
解答: (1)解:∵an=
4an-1
kan-1+1
(n≥2),
1
an
=
1
4
1
an-1
+
k
4

1
an
-
k
3
=
1
4
1
an-1
-
k
3

①k=3時(shí),{
1
an
-1}是各項(xiàng)為0的常數(shù)列,∴an=1;
②k≠3時(shí),{
1
an
-
k
3
}是以1-
k
3
為首項(xiàng),
1
4
的等比數(shù)列,∴
1
an
-
k
3
=(1-
k
3
)•(
1
4
)n-1

∴an=
3•4n-1
k•4n-1+3-k
,
綜上,an=
3•4n-1
k•4n-1+3-k
;
(2)證明:由an=
3•4n-1
k•4n-1+3-k
得an-
3
k
=
3k-9
k(k•4n-1+3-k)

∵1<k<3,
∴an-
3
k
3k-9
k
1
k•4n-1
=
3k-9
k2
1
4n-1

∴a1+a2+…+an-
3n-8k
k
=(a1-
3
k
)+(a2-
3
k
)+…+(an-
3
k
)+8>
3k-9
k2
•(1+
1
4
+…+
1
4n-1
)+8
=
4(k-3)
k2
•[1-(
1
4
)n
]+8>
4(k-3)
k2
+8=
4(2k+3)(k-1)
k2
>0,
∴a1+a2+…+an
3n-8k
k
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項(xiàng),考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)集合A={-1,0,1},B={2,3,4,5,6},f是A和B的映射,對任意的x∈A,都有f(x)+x+x•f(x)為奇數(shù),則滿足條件的映射的個(gè)數(shù)為(  )
A、12B、15C、25D、50

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知四棱錐P-ABCD如圖1所示,其三視圖如圖2所示,其中正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形,俯視圖是矩形.
(Ⅰ)若E是PD的中點(diǎn),求證:AE⊥平面PCD;
(Ⅱ)求此四棱錐的表面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求解析式:
(1)已知f(x)為二次函數(shù),且f(2x+1)+f(2x-1)=16x2-4x+6,求f(x).
(2)已知f(
x
+1)=x+2
x
,求f(x).
(3)如果函數(shù)f(x)滿足方程f(x)+2f(-x)=x,x∈R,求f(x).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖是一個(gè)幾何體的三視圖(單位:cm)求這個(gè)幾何體的表面積及體積;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在三棱錐P-ABC中,△ABC為正三角形,∠PCA=90°,D為PA中點(diǎn),二面角P-AC-B的大小為為120°,PC=2,AB=2
3

(1)求證:AC⊥BD;
(2)求BD與底面ABC所成的角,
(3)求三棱錐P-ABC的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:
(1)B1D1∥平面BC1D;   
(2)A1C⊥B1D1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,首項(xiàng)為a1,且1,an,Sn成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)數(shù)列滿足bn=(log2an+1)(log2an+2),求證:
1
b1
+
1
b2
+
1
b3
+…+
1
bn
<1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知以F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓上有點(diǎn)Q,三角形QF1F2的周長為4(
2
+1).一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.
(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線PF1、PF2的傾斜角分別為α,β,證明tanβ•tanα=1;
(3)設(shè)m=
1
|AB|
+
1
|CD|
,請問m是否為定值?若是,求出m的值;若不是,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案